《线性代数与空间解析几何》A教学大纲
Linear Algebra and Analytic Geometry A
课程编码：09A00110 学分：3.5 课程类别：专业基础课（必修课）
计划学时：56 其中讲课：56 实验或实践：0 上机：0
适用专业：信息科学与工程、机械工程、自动化与电气控制、土木建筑、资源与环境、物理科学与技术等学院理工类各专业
推荐教材：于朝霞张苏梅苗丽安主编.线性代数与空间解析几何(第二版).北京：高等教育出版社，2016.
参考书目：1、郑宝东主编.线性代数与空间解析几何(第三版).北京：高等教育出版社，2015.
2、马柏林等主编.线性代数与解析几何.北京：科学出版社，2001.
3、黄廷祝，成孝予主编.线性代数与空间解析几何(第三版).北京：高等教育出版社，2014.
4、冯良贵等编著.线性代数与解析几何.北京：科学出版社，2013.
5、龚冬保等主编.线性代数与空间解析几何要点与解题.西安：西安交通大学出版社，2006 .
6、黄廷祝，余时伟主编.线性代数与空间解析几何学习指导教程.北京：高等教育出版社，2005.
课程的教学目的与任务
线性代数与空间解析几何具有较强的抽象性与逻辑性，所介绍的方法广泛地应用于各个学科，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。
通过本课程的教学，使得学生系统地获取线性代数与空间解析几何的基本知识、基本理论与基本方法，了解代数与几何的相互渗透关系，会用代数理论去解决几何方面的问题，具有较熟练的运算能力。通过本课程的学习使学生初步熟悉和了解抽象的、严格的代数证明方法，理解具体与抽象、特殊与一般的辩证关系，提高空间想象、抽象思维、逻辑推理的能力。学会理性的数学思维技术和模式，培养学生的创新意识和能力，能运用所获取的知识去分析和解决问题，并为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础。
课程的基本要求
通过本课程的学习，要求学生达到以下要求：
1.了解行列式的概念，熟记行列式的性质，掌握行列式的基本计算方法。
2.掌握矩阵的基本运算，理解矩阵秩的概念及初等矩阵与初等变换的关系性质。
3.理解线性相关性、向量组的秩的概念，掌握线性相关性的性质及判定定理、三秩相等定理。
4.掌握平面、直线、二次曲面的方程及方程所表示的曲面形状。
5.理解线性方程组解的存在定理、解的结构定理，掌握其在讨论空间平面位置关系中的应用。
6.理解特征值、特征向量的概念。掌握方阵可相似对角化的条件及方法，正交变换化二次型为标准形的方法。掌握二次型理论在判别三元二次方程所表示的几何形状的应用。
7.借助矩阵的初等行变换熟练掌握各类线性问题解的刻画及求解方法步骤。
8.掌握线性方程组理论及二次型理论在几何上的应用。
各章节授课内容、教学方法及学时分配建议
本课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次.其中，概念、理论用“理解”一词表述的，方法、运算用“掌握”一词表述的，属较高要求，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用；概念、理论用“了解”一
词表述的，方法、运算用“会”或“了解”表述的，也是教学中必不可少的，只是在要求上低于前者。
第一章：行列式 建议学时：8
[教学目的与要求]
1．理解n阶行列式的定义。
2．理解行列式的性质，掌握行列式的计算。
3.了解克拉默(Cramer)法则。
[教学重点与难点] 行列式的性质，行列式的计算。
[授 课 方 法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。
[授 课 内 容]
1.1二阶与三阶行列式
1.1.1二阶行列式
1.1.2三阶行列式
1.2 n阶行列式的定义
1.2.1排列与逆序数
1.2.2n阶行列式的定义
1.3行列式的性质与计算
1.3.1行列式的性质
1.3.2行列式的计算
1.4克拉默法则
习题课
第二章：矩阵及其运算 建议学时：10
[教学目的与要求]
1．理解矩阵的概念，知道某些特殊矩阵的定义及性质。
2．熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置及相关运算性质。
3．理解伴随阵概念及性质，理解逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆充要条件。
4．理解矩阵秩的概念，知道满秩矩阵及其性质。
5．理解矩阵的初等变换，熟练地用初等行变换求逆矩阵、求矩阵的秩、解矩阵方程。
6．了解分块矩阵的运算，掌握准对角矩阵的运算性质。
[教学重点与难点]
重点：矩阵、逆矩阵、矩阵的秩及矩阵的初等变换的概念。矩阵的各类运算及运算性质。矩阵可逆的充要条件。初等矩阵与初等变换的关系性质，用初等变换求逆矩阵、矩阵的秩、矩阵方程的解的方法。
难点：矩阵秩的概念，有关矩阵秩的性质的应用问题。
[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。
[授 课 内 容]
2.1 矩阵及其运算
2.1.1矩阵的概念
2.1.2矩阵的运算
2.2 逆矩阵
2.2.1逆矩阵的定义
2.2.2方阵可逆的充要条件
2.3 分块矩阵及其运算
2.3.1分块矩阵的概念
2.3.2分块矩阵的运算
2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩
2.4.1矩阵的初等变换
2.4.2矩阵秩的概念与求法
2.5 初等矩阵
2.5.1初等矩阵及其性质
2.5.2用初等变换求逆矩阵
习题课
第三章：向量与向量空间 建议学时：10
[教学目的与要求]
1.了解空间直角坐标系、几何向量的坐标表示及运算。
2.理解n维向量的概念、理解线性相关性概念。会判别向量组的线性相关性。
3.理解向量组的最大无关组、秩的概念，理解三秩相等定理。掌握用矩阵的初等变换求向量组的最大无关组及秩的方法。
4.理解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念，会求向量空间的基、维数。
[教学重点与难点]
重点：向量组的线性相关性的概念及性质，向量组的线性相关性的矩阵判别法及其推论以及上述结论的应用；向量组的最大无关组与秩的概念与求法；三秩相等定理及应用；向量空间、基底及维数的概念。
难点：向量组的线性相关性、向量组的最大无关组与秩及相关证明题。
[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。
[授 课 内 容]
3.1 几何向量及其线性运算
3.1.1几何向量的基本概念
3.1.2几何向量的线性运算
3.2 空间直角坐标系
3.2.1空间直角坐标系
3.2.2几何向量的坐标表示
3.2.3用坐标进行向量运算
3.3 n维向量及其线性运算
3.3.1n维向量的概念
3.3.2n维向量的线性运算
3.4 向量组的线性相关性
3.4.1向量组及其线性组合
3.4.2线性相关与线性无关的概念
3.4.3线性相关性的性质
3.4.4线性相关性的判定
3.5 向量组的秩
3.5.1最大线性无关组
3.5.2向量组的秩
3.5.3矩阵的秩与向量组的秩的关系
3.6向量空间
3.6.1向量空间的概念
3.6.2坐标变换
习题课
第四章：欧氏空间 建议学时：8
[教学目的与要求]
1.理解向量的内积、长度、夹角等概念及性质；理解标准正交基、正交矩阵;会求几何向量的内积和外积。
2.掌握空间直线的标准式方程与平面的点法式、一般式方程。
3.理解空间曲面、空间曲线的概念，会求空间曲线在坐标面上的投影。
4.知道二次曲面方程及其所表示图形的形状。
[教学重点与难点] 标准正交基；直线与平面方程、曲面方程。
[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。
[授 课 内 容]
4.1 向量的内积 欧氏空间
4.1.1R3中向量的内积
4.1.2n维向量的内积 欧氏空间
4.2 标准正交基
4.3 R3中向量的外积和混合积
4.3.1向量的外积
4.4 R3中的直线与平面
4.4.1平面及其方程
4.4.2空间直线及其方程
4.4.3位置关系
4.5空间曲面及其方程
4.5.1球面
4.5.2旋转曲面
4.5.3柱面
4.6 空间曲线及其方程
4.6.1空间曲线的一般方程
4.6.2空间曲线的参数方程
4.6.3空间曲线在坐标面上的投影
4.7 二次曲面
4.7.1椭球面
4.7.2抛物面
4.7.3双曲面
4.7.4二次锥面
习题课
第五章：线性方程组 建议学时：6
[教学目的与要求]
1．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。
2．理解齐次线性方程组的基础解系，线性方程组的通解的概念及解的结构。
3．熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。
4.掌握线性方程组解的理论在向量组的线性相关性和在几何上的应用。
[教学重点与难点] 齐次线性方程组有非零解的判断及基础解系的概念；非齐次线性方程组有解的判
断及通解结构；用矩阵的初等行变换求解线性方程组；线性方程组解的理论在几何上的应用。
[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。
[授 课 内 容]
5.1 线性方程组有解的充要条件
5.2 线性方程组解的结构
5.2.1齐次线性方程组解的结构
5.2.2非齐次线性方程组解的结构
5.3 用初等变换解线性方程组及线性方程组的应用
5.3.1用矩阵的初等行变换求解线性方程组
5.3.2线性方程组应用举例（只介绍在几何中的应用）
习题课
第六章：特征值、特征向量及相似矩阵 建议学时：8
[教学目的与要求]
1．理解矩阵的特征值与特征向量的概念并掌握其求法。
2．理解相似矩阵的概念与性质，理解矩阵可相似对角化的充要条件。
[教学重点与难点]
重点：矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法；实对称矩阵的相似对角化。
难点：矩阵可相似对角化的条件及相关问题。
[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。
[授 课 内 容]
6.1 特征值与特征向量
6.1.1特征值与特征向量的概念
6.1.2特征值与特征向量的性质
6.2相似矩阵
6.2.1相似矩阵的概念及性质
6.2.2方阵的相似对角化问题
6.3 实对称矩阵及其对角化
6.3.1实对称矩阵的特征值与特征向量
6.3.2实对称矩阵的正交相似对角化
习题课
第七章：二次型 建议学时：6
[教学目的与要求]
1.了解二次型及其矩阵表示、二次型的秩及二次型的标准形等概念。
2.掌握用正交变换将二次型化为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形。
3.会用二次型理论讨论讨论一般二次曲面的形状。
[教学重点与难点] 用正交变换化二次型为标准型。
[授 课 方 法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。
[授 课 内 容]
7.1二次型
7.1.1二次型的定义及其矩阵
7.1.2矩阵的合同
7.2化二次型为标准形
7.2.1用正交变换化二次型为标准形
7.2.2用配方法化二次型为标准形
7.3 正定二次型
7.3.1二次型的惯性定理
7.3.2正定二次型
7.4 二次型在研究二次曲面中的应用
7.4.2二次曲面方程化标准形
习题课
撰稿人：张苏梅
审核人：杨殿武
